ЮРПОМОЩНИК

справочник юриста

Главная » Учредительные документы

Решение пределов образец


решение пределов образец

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Так как при $\alpha \to 0$ имеем $\sin \alpha \to 0$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $\frac <0> <0>$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $\alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, - лишь бы выполнялись два условия:

  1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $\frac <0><0>$.
  2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут .

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $\frac <0> <0>$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, - например, см. пример №11.

Пример №1

Решение

а) Так как $\mathrm \alpha=\frac<\sin\alpha><\cos\alpha>$, то:

Так как $\cos 0=1$ и $ \lim_<\alpha \to 0> \frac <\sin \alpha ><\alpha>=1$, то $\lim_<\alpha \to 0> \frac <\sin \alpha><\alpha> \cdot \lim_<\alpha \to 0> \frac<1><\cos \alpha>=1\cdot 1=1$. Равенство доказано.

б) Сделаем замену $\alpha=\sin y$. Поскольку $\sin0=0$, то условия $\alpha \to 0$ и $y \to 0$ эквивалентны. Кроме того, в окрестности нуля $ \arcsin\alpha=\arcsin(\sin y)=y$, поэтому:

в) Сделаем замену $\alpha=\mathrm \ y$. Поскольку $\mathrm \ 0=0$, то условия $\alpha \to 0$ и $y \to 0$ эквивалентны. Кроме того, в окрестности нуля $\mathrm \ \alpha=\mathrm \ (\mathrm \ y)=y$, поэтому:

Равенство $ \lim_<\alpha \to 0> \frac <\mathrm \ \alpha ><\alpha >=1 $ доказано.

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Так как $\lim_ \frac =\frac<2^2-4><2+7>=0$ и $\lim_ \sin \left ( \frac \right )=\sin 0=0$, т.е.

и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac <0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие ):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1). т.е. $\lim_ \frac <\sin\left ( \frac \right )><\frac>=1$.

Так как $ \lim_ \sin 9x=0$ и $\lim_x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac <0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, - тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, - просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $\lim_ \frac<\sin 9x><9x>$ выполнены. Следовательно, $\lim_ \frac<\sin 9x><9x>=1$. А это значит, что:

Решение

Так как $\lim_ \sin 5x=0$ и $\lim_ \mathrm 8x=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac <0><0>$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $\sin 5x$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, - и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем:

Пример №5

Решение

Так как $\lim_ (\cos 5x-\cos^3 5x)=1-1=0$ (напомню, что $\cos 0=1$) и $\lim_x^2 =0 $, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac <0><0>$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1) ) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2) ). Сделать это можно таким преобразованием: $$\cos 5x - \cos^3 5x=\cos5x\cdot(1-\cos^2 5x)$$ Так как $\sin^2 5x=1-\cos^25x$ (см. тригонометрические формулы ), то: $$\cos5x-\cos^3 5x=\cos 5x \cdot (1-\cos^2 5x)=\cos 5x \cdot \sin^2 5x.$$ Вернемся к пределу:

Решение квадратного уравнения Решение квадратного уравнения онлайн

Решение системы уравнений Решение системы двух линейных уравнений онлайн

Решение неравенств Решение неравенств первой и второй степени, решение дробных неравенств

Каталог решённых неравенств Каталог неравенств с подробным решением

Приведение дробей к общему знаменателю Приведение дробей к общему знаменателю в режиме онлайн

Разложение дроби на сумму элементарных дробей Разложение дроби на сумму элементарных дробей в режиме онлайн

Решение кубического уравнения Решение кубического уравнения в режиме онлайн

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши . а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.

2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей :

1) Всем известного значка предела .

2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().

3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?

Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое . Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….

То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают .

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?

, , , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности :

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ .

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает :

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если . попробуйте построить последовательность  , , . Если , то  , , .

Примечание . строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует !

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда . а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени .

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел

Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .

Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )

Для раскрытия неопределенности  необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число . ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях . А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .

Пример 4

Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило . если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель:

,

Что важного в данном примере?

Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела . Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно

В ходе решения фрагмент типа  встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя . Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела . Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение .

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:

И смотрим на наш предел:

Что можно сказать?  у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое и называется сопряженным выражением ).

Умножаем числитель на сопряженное выражение :

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,  мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение .

В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность  не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?

Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Примеры решения пределов

То, что предел функции при стремящемся к равен , записывается следующим образом:

При этом значение, к которому стремится переменная , может быть не только числом, но и бесконечностью (), в некоторых случаях или , или вовсе предел может не существовать.

ПРИМЕР 1

Задание

Решение

Первый предел. Для нахождения данного предела достаточно подставить вместо число, к которому оно стремиться, то есть 2, получим

Второй предел. В данном случае подставлять в чистом виде 0 вместо нельзя, так как получим деление на 0. Можно рассматривать значения близкие к нулю, например, подставлять 0,01 0,001 0,0001 0,00001 и т. д. при этом значение функции будет возрастать: 100 1000 10000 100000 и т. д. Таким образом, можно сделать вывод о том, что при значение функции, стоящей под знаком предела, будет неограниченно возрастать, то есть стремиться к бесконечности. А значит:

Третий предел. Здесь, как и в предыдущем случае, нельзя подставить в чистом виде. Необходимо рассмотреть случай неограниченного возрастания . Подставляя 1000 10000 100000 и т.д. получим, что значение функции будет убывать: 0,001 0,0001 0,00001 и т.д. стремясь к нулю. Таким образом,

Ответ

Примеры решений пределов

На данной странице Вы можете посмотреть примеры решений пределов . В таком виде решения представляются Вам при заказе работы у нас.  При желании степень подробности решения может меняться.

Пределы — это одна из первых тем, которую проходят в курсе «Высшей математики» или «Математического анализа».  И неудивительно, что у многих первокурсников есть проблемы с решением примеров и заданий по данной теме. Дело в том, что при решении пределов, существует ограниченный, но довольно широкий набор неопределенностей, каждый вид которых решается определенным методом.

Множество примеров решений пределов и полезной информации ищите на следующих страницах:

Пределы. Теория и практика   – здесь Вы найдете теоретический материал, посвященный данной теме, а также огромное множество разобранных практических заданий.

Видеолекция по теме: «Функция и предел функции». – поможет тем, кому надо усвоить начальные сведения о пределах.

Источники:
math1.ru, integraloff.net, www.mathprofi.ru, ru.solverbook.com, 5forstudents.ru

Следующие статьи:


11 декабря 2017 года


Комментариев пока нет!
Ваше имя *
Ваш Email *

Сумма цифр справа: код подтверждения


Исковое заявление о признании гражданина умершим образец

Исковое заявление о признании гражданина умершим образец

Дневник производственной практики автомеханика образец

Дневник производственной практики автомеханика образец

Образец заполнения анкеты в австралию

Образец заполнения анкеты в австралию

Образец плохой характеристики на работника

Образец плохой характеристики на работника

Как получить право на наследство после смерти отца

Как получить право на наследство после смерти отца

Упрощенное производство образец иска

Упрощенное производство образец иска

Благодарственное письмо другу образец

Благодарственное письмо другу образец

Благодарственное письмо за проведение мероприятия образец

Благодарственное письмо за проведение мероприятия образец

Образец заполнения дневника по практике медсестры

Образец заполнения дневника по практике медсестры

Отказ от части наследства не допускается

Отказ от части наследства не допускается

Сколько стоит оформление наследства по закону

Сколько стоит оформление наследства по закону

Отказ от наследства как вернуть все обратно

Отказ от наследства как вернуть все обратно